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Table des Matières
 Progressions Primaire1882 - 1923
BO Special 7 Primaire 2000
Lieury : Méthodes pour la mémoire
 Intelligence : JF Richard

( 0a )

Wall Street Journal Lead Editorial, January 4, 2000

          So you've got thirteen
          And you take away seven,
          And that leaves five...
          ...Well, six actually
But the idea is the important thing

          -"New Math" By Tom Lehrer (1965)

        Reinventing math is an old tradition in this country. It has been around at least since the 1960's, when the inimitable Tom Lehrer
mocked the New Math in Berkeley cafes. Even Beatniks understood that a method that highlights concepts at the expense of plain
old calculation would add up to trouble. And, as it happened, the New Math's introduction in schools across the country coincided
with the onset of a multi-year decline in math scores.

        Today the original New Math is old hat, but many folks in the education world are hawking yet another reform. It is known by
names like "Connected Math," or "Everyday Math." Not surprisingly, the New New Math has a lot in common with the Old New
Math. Like its forerunner, it focuses on concepts and theory, scorning textbooks and pencil-and-paper computation as "rote drill."
And like its forerunner, today's New Math has powerful allies. Education secretary Richard Riley and other Clintonites smile on it.
Eight of the 10 curriculums recently recommended for nationwide use by an influential Education Department panel teach the New
New Math.

        Not that all members of the Academy are joining the movement. Within weeks of the Education Department findings, 200
mathematicians and scientists, including four Nobel Prize recipients and two winners of a prestigious math prize, the Fields Medal,
published a letter in the Washington Post deploring the reforms. More are now rallying on an opposition Website, Mathematically

        And well they might. For programs of the sort picked by the federal panel turn out to be horrifyingly short on basics.

        Consider MathLand, which won a "promising" rating from the panel. Its literature says it focuses on "attention to conceptual
understanding, communication, reasoning and problem solving." This sounds harmless, but consider: MathLand does not teach
standard arithmetic operations. No carrying and borrowing at the blackboard here. Instead, children are supposed to meet in small
groups and invent their own ways to add, subtract, multiply and divide. This detour is necessary, the handbook informs, to spare
youngsters the awful subjugation of "teacher-imposed rules." Next comes Connected Math, another panel favorite. It too skips or
glosses over crucial skills. Example: The division of fractions, an immutable prerequisite for algebra, is absent from its middle-school
curriculum. In shutting the door to algebra, David Klein of Cal State Northridge points out, "Connected Math also closes doors to
careers in engineering and science for its graduates."

        Finally there is Everyday Math. No textbooks here, either. Everyday Math ensures juvenile dependency to calculators by
endorsing their use from kindergarten. Rather than teach long division, the program devotes substantial time to that important area of
math study, self-esteem. A Grade 5 worksheet asks students to fill in the blanks on the questions below:

     A. If math were a color, it would be_____, because____.
     B. If it were a food, it would_______, because_____.
     C. If it were weather, it would be_______, because, ______.

        We'll allow a pause here for primal screams.

        And then move on to the main question: Why? The reason for the New New Math, as for many other curriculum reforms, is that
teachers, school administrators and their unions are tired of being blamed for statistical declines and poor student performances. So
with math, as in their campaign to dumb down the SAT, such educators work to destroy or reject the standards that brought them
trouble in the first place. Children are different nowadays, goes the line, and cannot be measured by old benchmarks.

        New Mathie and federal panel member Steven Leinwand explains: "It's time to recognize that, for many students, real
mathematical power, on the one hand, and facility with multidigit, pencil-and-paper computational algorithms, on the other, are
mutually exclusive." Or, as Professor Klein translates: "Underlying their programs is an assumption that minorities and women are too
dumb to learn real mathematics."

        Fortunately, America is not France, where a central government controls every aspect of schooling down to the color of the
paper clips. Localities and states write their own curriculums, and can and do fight back against the New Math. California for
example, reversed a calculator-friendly policy in grammar schools after scores dropped precipitously. Resource-rich families, too,
one suspects will find ways to compensate for what trendy schools omit. Still, New Math will take its casualties, especially among the
poor, adding to the already mounting costs of the decline in national educational standards.


Dear Secretary Riley:

In early October of 1999, the United States Department of Education endorsed ten K-12 mathematics programs by describing them as "exemplary" or "promising." There are five programs in each category. The "exemplary" programs announced by the Department of Education are:

Cognitive Tutor Algebra
College Preparatory Mathematics (CPM)
Connected Mathematics Program (CMP)
Core-Plus Mathematics Project
Interactive Mathematics Program (IMP)

The "promising" programs are:

Everyday Mathematics
Middle-school Mathematics through Applications Project (MMAP)
Number Power
The University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP)

These mathematics programs are listed and described on the government web site:

The Expert Panel that made the final decisions did not include active research mathematicians. Expert Panel members originally included former NSF Assistant Director, Luther Williams, and former President of the National Council of Teachers of Mathematics, Jack Price. A list of current Expert Panel members is given at:

It is not likely that the mainstream views of practicing mathematicians and scientists were shared by those who designed the criteria for selection of "exemplary" and "promising" mathematics curricula. For example, the strong views about arithmetic algorithms expressed by one of the Expert Panel members, Steven Leinwand, are not widely held within the mathematics and scientific communities. In an article entitled, "It's Time To Abandon Computational Algorithms," published February 9, 1994, in Education Week on the Web, he wrote:

"It's time to recognize that, for many students, real mathematical power, on the one hand, and facility with multidigit, pencil-and-paper computational algorithms, on the other, are mutually exclusive. In fact, it's time to acknowledge that continuing to teach these skills to our students is not only unnecessary, but counterproductive and downright dangerous." (

In sharp contrast, a committee of the American Mathematical Society (AMS), formed for the purpose of representing the views of the AMS to the National Council of Teachers of Mathematics, published a report which stressed the mathematical significance of the arithmetic algorithms, as well as addressing other mathematical issues. This report, published in the February 1998 issue of the Notices of the American Mathematical Society, includes the statement:

"We would like to emphasize that the standard algorithms of arithmetic are more than just 'ways to get the answer' -- that is, they have theoretical as well as practical significance. For one thing, all the algorithms of arithmetic are preparatory for algebra, since there are (again, not by accident, but by virtue of the construction of the decimal system) strong analogies between arithmetic of ordinary numbers and arithmetic of polynomials."

Even before the endorsements by the Department of Education were announced, mathematicians and scientists from leading universities had already expressed opposition to several of the programs listed above and had pointed out serious mathematical shortcomings in them. The following criticisms, while not exhaustive, illustrate the level of opposition to the Department of Education's recommended mathematics programs by respected scholars:

Richard Askey, John Bascom Professor of Mathematics at the University of Wisconsin at Madison and a member of the National Academy of Sciences, pointed out in his paper, "Good Intentions are not Enough" that the grade 6-8 mathematics curriculum Connected Mathematics Program entirely omits the important topic of division of fractions. Professor Askey's paper was presented at the "Conference on Curriculum Wars: Alternative Approaches to Reading and Mathematics" held at Harvard University October 21 and 22, 1999. His paper also identifies other serious mathematical deficiencies of CMP.

R. James Milgram, professor of mathematics at Stanford University, is the author of "An Evaluation of CMP," "A Preliminary Analysis of SAT-I Mathematics Data for IMP Schools in California," and "Outcomes Analysis for Core Plus Students at Andover High School: One Year Later." This latter paper is based on a statistical survey undertaken by Gregory Bachelis, professor of mathematics at Wayne State University. Each of these papers identifies serious shortcomings in the mathematics programs: CMP, Core-Plus, and IMP. Professor Milgram's papers are posted at:

Martin Scharlemann, while chairman of the Department of Mathematics at the University of California at Santa Barbara, wrote an open letter deeply critical of the K-6 curriculum MathLand, identified as "promising" by the U. S. Department of Education. In his letter, Professor Scharlemann explains that the standard multiplication algorithm for numbers is not explained in MathLand. Specifically he states, "Astonishing but true -- MathLand does not even mention to its students the standard method of doing multiplication." The letter is posted at:

Betty Tsang, research physicist at Michigan State University, has posted detailed criticisms of the Connected Mathematics Project on her web site at:

Hung-Hsi Wu, professor of mathematics at the University of California at Berkeley, has written a general critique of these recent curricula ("The mathematics education reform: Why you should be concerned and what you can do", American Mathematical Monthly 104(1997), 946-954) and a detailed review of one of the "exemplary" curricula, IMP ("Review of Interactive Mathematics Program (IMP) at Berkeley High School", He is concerned about the general lack of careful attention to mathematical substance in the newer offerings.

While we do not necessarily agree with each of the criticisms of the programs described above, given the serious nature of these criticisms by credible scholars, we believe that it is premature for the United States Government to recommend these ten mathematics programs to schools throughout the nation. We respectfully urge you to withdraw the entire list of "exemplary" and "promising" mathematics curricula, for further consideration, and to announce that withdrawal to the public. We further urge you to include well-respected mathematicians in any future evaluation of mathematics curricula conducted by the U.S. Department of Education. Until such a review has been made, we recommend that school districts not take the words "exemplary" and "promising" in their dictionary meanings, and exercise caution in choosing mathematics programs.


David Klein
Professor of Mathematics
California State University, Northridge

Richard Askey
John Bascom Professor of Mathematics
University of Wisconsin at Madison

R. James Milgram
Professor of Mathematics
Stanford University

Hung-Hsi Wu
Professor of Mathematics
University of California, Berkeley

Martin Scharlemann
Professor of Mathematics
University of California, Santa Barbara

Professor Betty Tsang
National Superconducting Cyclotron Laboratory
Michigan State University

1 ) Le site de référence fondamental est l'APED :

( 2 ) On trouve des éléments sur les rapports entre l'OECE et la montée en puissance des maths modernes dans les années 50 dans:

:"Faire des mathématiques : le plaisir du sens" - Rudolph BKOUCHE, Bernard CHARLOT et Nicolas ROUCHE Edition Armand Colin; Août 1991

Les références à l'OECE se trouvent dans le texte de B. CHARLOT , "Le virage des mathématiques modernes " . B. CHARLOT habituellement prompt à établir des relations entre les divers aspects sociaux de la réforme ne déduit rien du fait que ce soit l'OECE qui donne "le véritable coup d'envoi de la réforme" ( page 26).
Le fait est mentionné également dans: "Les sciences au lycée : Un siècle de réformes des mathématiques et de la physique en France et à l'étranger" INRP / VUIBERT ( Juin 1996) dans l'article " La réforme des maths modernes, discours, polémiques et réalités" de Patrick Trabal, mais sans avancer plus dans la compréhension du phénomène.

3 ) (L'Ecole, marché du XXIème siècle) (Résister à la marchandisation de l'enseignement)

( 4 )Le communiqué du conseil des ministres du 16 Janvier 1974 sur «Les principes directeurs de la réforme de l’enseignement du second degré» précisait d'entrée en son point e) :
«Le recours abusif au redoublement sera énergiquement banni. La fréquence excessive des redoublements d’un taux exceptionnellement élevé en France, comparativement à d’autres pays, est une des plaies majeures de notre système éducatif. Elle provoque un alourdissement notable des effectifs scolaires et corrélativement des charges supplémentaires importantes.».
Le chapitre de référence de cette déclaration s'appelait clairement "Suppression des redoublements". En 1974, on ne faisait pas dans la dentelle des justifications à base de sciences de l'éducation. Et ceci est aussi vrai à la même époque pour l'affirmation "Le calcul va disparaître" des Nora/Minc. Mais depuis les SDE sont arrivées
Dans cette optique, il semblerait possible , lorsque l'on fait passer dans la classe supérieure - après pression du chef d'établissement à qui les services rectoraux ont dit que, de toutes façons, il pourra recevoir la famille, pour rendre un avis contraire à celui du conseil de classe- un élève qui, manifestement ne suivra pas, de le motiver ainsi sur le bulletin du dernier trimestre: "Passage dans la classe supérieure pour alléger les effectifs et réduire les charges". Le poids des économies de gestion serait à la limite supportable s'il n'était pas justifié comme mesure progressiste par les SDE.

( 5 ) Il faut absolument lire les ouvrages de François et Liliane Lurçat qui sont un excellent antidote à la pensée moderniste , et cet antidote a été conçu au moment où cette pensée moderniste s'est mise en place, ce qui lui donne beaucoup plus de valeur de repère que les critiques émises tardivement par ceux qui ont participé à la mise en oeuvre des monstruosités pédagogiques et dont les bilans ne sont que des manières de dissimuler leurs propres responsabilités: le classique du genre pour les maths modernes est d'expliquer que les intentions des réformateurs étaient de bonnes intentions - donc bâties du même matériau que l'Enfer qui est pavé de ce genre de briques - et d'opposer le formalisme des maths modernes au caractère vivant et non formel des réformes actuelles au lieu, bien évidemment d'en montrer la continuité. Les Lurçat, comme René THOM avec qui ils ont collaboré, n'ont pas à pratiquer ce genre de raisonnement de jésuite: ils ont été contre les réformes dés - et même avant - leurs parutions . Il est donc normal qu'ils n'aient pas la faveur - c'est un euphémisme- des médias.

François Lurçat : "La science suicidaire" François-Xavier de Guibert 1999
François Lurçat : " L'autorité de la science" Edition du Cerf 1995
François Lurçat : " Le chaos " Que sais-je? 1999
François Lurçat:: Cours de Physique Collection Ellipses 1989

Liliane Lurçat : "la destruction de l'enseignement élémentaire et ses penseurs" François-Xavier de Guibert 1998
Liliane Lurçat : "Vers une école totalitaire" François-Xavier de Guibert 1999
Liliane Lurçat : " Espace connu et espace vécu à la maternelle" ESF 1982. Contient notamment une critique par René THOM de "La Genèse de l'espace représentatif selon Piaget"
Liliane Lurçat : " L'enfant et l'espace: le rôle du corps" 1976

Liliane Lurçat , ancienne collaboratrice d'Henri Wallon, était membre du CNRS.
François Lurçat, physicien, professeur émérite à l'université de Paris-XI, a publié des articles de divulgation et de critique scientifique.

( 6 ) Il est également intéressant de noter que l'introduction des statistiques a été faite pas Quételet sous le nom de "Physique Sociale"( Sous-titre de "Sur l'Homme et le développement de ses facultés" 1828) avec l'opposition de tous les humanistes du XIX ème siècle ( débat avec Auguste Comte): la victoire posthume de Quételet au XXème siècle, accompagnée et permise par l'aplatissement des humanistes qu'il faut considérer comme un fait, crée réellement une "physique sociale" à base de statistiques. Le fait que les nouveaux programmes de seconde comporte un tiers de statistiques est le symbole de la victoire de la "physique sociale" dans l'enseignement. Par contre la " moyenne ", liée à "l'homme moyen", chère à Quételet n'a eu aucun mal à s'imposer et à perdurer.

7 ) in Brzezinski, Zbigniew (1970): Between two Ages. America’s rôle in the Techtronic Era. New York: The Viking Press 1970( page 159). Zbigniew Brzezinski est aussi une des fondateurs de la Commission Trilatérale

( 8 ) Logiciels libres : partisan des possibilités que peuvent permettre les logiciels libres et la licence GPL, mais cependant sans illusion , j'avais écrit il y a un an et demi une mise en garde contre le fait de faire du M$ sans M$ ( pour faire du MFranc ou du MEuro ?) sous la forme d'une réponse à un article de Jean Claude Guédon paru dans Libé du 12 Juin 1998 : " Les ordinateurs à l'école: penser avant de dépenser" qui s'intitulait " Essayer de poser les vrais problèmes : donner un sens aux mots" et qui posait en partie les questions soulevées dans ce texte. Il n'y a eu aucune réponse ni de JC Guédon, ni sur les listes de discussion du Libre ( à part de Nat Makarevich que je remercie publiquement ici). Pour en revenir aux logiciels libres, leur mode de développement peut permettre des solutions informatiques qui échappent aux contraintes générées par la présentation généraliste des interfaces logicielles et des IHM, mais ce semble pas être le tournant pris par les grandes distributions qui font du Windows sans M$. J'ai aussi écrit " Bulles spéculatives et logiciels libres" sur les chances qu'avaient le logiciel libre d'être utile pour contrer la mercantilisation de l'enseignement. Je peux joindre un dossier sur l'informatique à tous ceux qui en font la demande : mon site NetSchool ( intentionnellement non modifié depuis sa création en sept 97) était volontairement aussi discret et peu critique en informatique qu'en pédagogie: j'y critiquais les outils bureautiques en disant qu'ils étaient inadaptés à l'éducation au lieu de dire qu'ils faisaient partie des outils du décervelage et je limitais la défense de la licence GPL au contenu éducatif en faisant mine de défendre NT contre W95.

( 9 ) Je suis tout à fait conscient, lorsque j'explique à un élève comment "faire des points dans un contrôle" que je définis une méthode de travail optimisée pour l'obtention d'une valeur maximale pour un contrôle en temps limité, méthode dont je ne voudrais à aucun prix (!) qu'elle soit employée pour réparer ma voiture dans un garage car elle vise à grappiller le maximum de pièces à changer en limitant le temps de travail, ce qui optimise peut être "la note" vers le haut mais certainement pas le bon fonctionnement du véhicule.

10 ) Je me propose dans un prochain texte d'en donner un exemple particulièrement flagrant sur un sujet fondamental et dont les effets se font sentir dans l'ensemble de l'apprentissage des mathématiques, lycée compris : la multiplication et la proportionnalité. On peut voir clairement sur cet exemple - qui se réfère au sens des mathématiques et pas seulement au sens interne aux mathématiques [ d'ailleurs réduit à la compréhension - ou plutot à la découverte- de l'algorithme] sur lequel on insiste arbitrairement sous le nom "d'activité purement mathématique" *- que les progressions et les problématiques en place depuis 30/40 ans sont des obstacles à la compréhension des élèves et que la problématique qui les engendre non seulement ne permets pas de comprendre leurs difficultés mais ne peut qu'introduire une dynamique qui arrive au comble qui est de combiner et l'aggravation de leurs difficultés et une baisse de leurs capacités réelles
* Ceci ne serait pas grave si l'on se référait au sens américain de la "mathematical closure" tel qu'il est défini par Wu Hu, mais ce n'est pas le cas  et "l'activité purement mathématique" est surtout recommandée là ou elle n'est pas possible et où elle se réduit à un simulacre tandis qu'elle n'est justement pas recommandée et même irréalisable - à cause de la structure des programmes- là ou elle serait faisable.

11 ) Remarque sur le problème "sociologique" posé par René Thom: s'il est vrai que les mathématiques avant 70 servaient de critère de sélection, celles d'aprés 70 se sont présentées comme non-sélectives mais l'ont été tout autant et même plus probablement tout en diminuant les capacités mathématiques des élèves ( ce qui n'empêche que les épreuves du Bac C des années  78/82 étaient effectivement trés difficiles, ce qui ne détermine pas cependant les capacités mathématiques des élèves qui l'ont passé, si ce n'est à l'aune de ce type de difficultés) . Donc le fait de savoir si les maths -classiques?- étaient sélectives "par nature" ne peut se poser pratiquement que si l'on en revient -globalement- aux progressions  des annés 60 en ayant une optique non-sélective. Est-ce possible si l'on sait que 40% des élèves de classes préparatoires scientiques ne vont pas dans ces classes parce qu'ils aiment les maths mais parce que c'est "un moyen d'avoir une bonne situation"? . Mais  il faut garder à l'esprit que, en maths comme ailleurs, l'obtention de  résultat sérieux est le produit d'un travail intense et ne pas faire un salmigondis  , sous le prétexte que l'on est un moderniste de gauche, entre la validité des théorèmes et les questions politiques  l'obstacle  principal à ce que les élèves comprennent cela  est l'intrication absolue entre le caractére sélectif et le caractére mathématique des épreuves des examens et concours. Voici ce que j'écrivais dans un mail

Message-Id: <>
Date: Fri, 12 Feb 1999 00:33:37 +0000
From: Michel DELORD <>
Subject: [maths] Re:   mathématiques totalitaires !

At 11:14 11/02/99 +0000, you wrote:

> Dans notre enseignement on demande au élèves d'avoir un regard critique sur
> ce qu'ils font. On demande même à ces élèves là d'avoir un regard critique
> sur un auteur  ou un texte (français, histoire-géo...). Et, que faisons nous
> en mathématiques ?
> On impose : Soit A ... on définit des objets comme étant immuables, on impose
> des théorêmes sans pouvoir, parfois, les démontrer... et j'en passe. Comment
> expliquer à un élève de manière simple (sans axiomatiser) que 1+1=2. A un âge
> où ils sont en pleine crise (adolescence) ou leur personnalité tend à
> s'affimer, à s'opposer (et à juste titre) en mathématiques on IMPOSE. Dans ce
> sens ne pensez-vous pas que les mathématiques soient totalitaires ?
> P** L****
> p***
> prof de maths en collège à B***t

1) OUI
D'une part, le mot totalitaire : il n'y a pas plus totalitaire que la loi de la  pesanteur qui reste quand même la loi. C'est pas plus mal que l'opinion contraire que j'ai entendu exposée sur le caractère démocratique des mathématiques qui soumettrait la validité d'un théorème à la majorité d'un vote. Le problème de fond est que totalitaire / démocratique s'applique à un régime politique et que les mathématiques ne sont pas un régime politique. Et qu'il ne suffit pas d'accoupler des mots pour donner un sens même si la tendance est facile puisque les mots s'accouplent très bien: Que pensez vous des écoles parallèles, orthogonales?  La constitution de 1958 est elle affine ou euclidienne? Mais la question de fond est : qu'est-ce qui fait qu'une démonstration est juste? En classe, c'est parce que le prof l'a dit. Un pas de plus: est-il important (  pour qui ?) de trouver une solution ou de démontrer qu'elle est juste? (pour qui? cf. précédente remarque)

2) NON
Je voudrais rebondir sur un fil précèdent : à quoi sert-il d'apprendre les maths? ( qui n'est pas la question: à quoi servent les maths?)
Personne n'a répondu: comme les mathématiques sont la principale matière de sélection, apprendre les maths - scolaires- et y réussir est un des meilleurs moyens d'être un bon élève, ce qui permet ensuite de faire math supérieures ( ce qui semblerait prouver que les mathématiques précédentes étaient au plus élémentaires et au moins inférieures), d'intégrer l'X et, alors, simultanément de pouvoir
a) ne plus faire de maths
b) avoir une bonne situation
Il fut un temps ou l'élève, brave bête, ne pensait pas a remettre en cause l'autorité du prof, car il y avait une carotte au bout. La carotte disparaît. Mais la loi de la pesanteur est toujours la loi. La situation est donc extrêmement positive puisque ce ne sont plus de fausses raisons de prestige social qui feront accepter l'apprentissage des math. Mais c'est pas facile :-)

3) Fin de la provocation Et si on étudiait historiquement le développement des maths on saurait peut être à quoi elles ont servi depuis qu'elle ont été le début de l'écriture,  la justification rationnelle - au sens de fraction/rapport- de la République de Platon qui n'en était pas une pour les barbares et les esclaves jusqu'au calcul de pi par la formule de Ramanujan qui ne l'a jamais démontrée - sale indien non rationaliste-.
Un élève qui peut comprendre un enseignement abstrait et ahistorique doit pouvoir comprendre un enseignement non formel des mêmes connaissances
................................. à moins qu'il ne se complaise dans le formalisme qui permet merveilleusement de réussir aux concours. Quand à celui qui ne comprend pas cet enseignement abstrait et ahistorique, il ne risque rien.
Après ce puissant effort intellectuel, je vais au lit car demain j'ai des élèves tout ce qu'il y a de plus normaux.


12 ) Bien que la critique qu'il fait des positions de Wu Hu soit tout à fait .... critiquable, ce qui sort du cadre de ce texte.

13 ) Le concept de "mathematical closure" est dû , à ma connaissance, au Pr HU de Berkeley dont l'adresse du site est :

14 ) Ce n'est pas le lieu ici de discuter ce que signifie la réduction des mathématiques à la résolution des problèmes mais on peut faire une recherche sur "Problem-solving" ou "Problem-solving skills" ou lire le texte de Wu-Hu : "The role of open-ended problems in mathematics education" (J. Math. Behavior 13(1994), 115-128) que l'on trouve sur son site

15 ) Les liens:
- PIM - Philosophie, Informatique, Mathematiques, Quasi empirisme :
- The Future of Set Theory by Saharon Shelah :
- L'Historique :"Hilbert's Mathematical Problems" : rt/toc.html
- Leo Cory : "The Origins of Eternal Truth in Modern Mathematics: Hilbert to Bourbaki and Beyond" disponible sur le site de la liste Historia- Mathematica

Un extrait particulièrement significatif du premier site est , sur la page consacrée à la présentation du Quasi-Empirisme:
"-  La recherche de fondements aux mathématiques a échoué à montrer que cette discipline est une science purement déductive et solidement fondée.
-  Les axiomes de n’importe quelle branche intéressante des mathématiques ont été originellement abstraits, directement ou indirectement, de faits empiriques, et les règles d’inférences utilisées en mathématiques ont montré leur validité non pas a priori, mais parce qu’elles ont été testées au cours de l’exercice effectif de la pensée.
- " La consistance de la plus grande partie de nos systèmes formels est un fait empirique… " (art. cit.). "
Je peux donner, sans explications , une autre formulation que j'avais donnée dans une lettre à M. Allegre en Octobre 1997 et qui s'inspire du principe suivant:
il est stérile  de poser comme opposition fondamentale l'opposition statique entre le sens et l'abstraction - qui plus est chez un individu - et de penser leurs liaisons exclusivement en terme d'antagonismes et il est plus fructueux d'établir les liens dynamiques existants entre la formalisation et l'expérience, cad l'activité humaine:
"V ) LA mathématique sont des outils

Les mathématiques sont nés des besoins des hommes et il a fallu attendre la fin du siècle dernier pour qu'elle prétende s'ériger en science autonome ayant sa structure interne. Si l'axiomatique ZF - qui est un décalque de la Genèse puisqu'elle crée tout ( c'est-à-dire  N) à partir de rien ( l'ensemble vide) - permet de déduire logiquement des propositions indécidables, le ver est dans le fruit et la cohérence des outils mathématiques qui est réelle est à rechercher dans l'activité humaine .
Ceux qui posent la question de savoir pourquoi la mathématique s'applique à la réalité ont probablement oublié que ce n'était pas vraiment surprenant car elle avait été tirée justement de cette réalité*. Il est vrai que regarder un écrit mathématique ne montre pas en soi l'origine du besoin qui l'a fait naître et demande des connaissances  sur l'histoire non seulement des techniques mais de toutes les activités humaines qui ne sont pas enseignées dans les IUFM. Regarder les calculs sur les minimisations de trajet devient plus clair si l'on sait que l'Amérique a du mener dans les années quarante une guerre sur deux fronts . Avec quelques connaissances historiques, l'on comprend mieux pourquoi 13 porte malheur dans certains pays alors que 17 a la même fonction en Italie ( VIXI: j'ai vécu donc je suis mort).

VI )Faut-il savoir calculer?

La réponse semble être non en regardant les programmes bien qu'il y ait toujours quelques phrases mentionnant cette nécessité au milieu d'autres affirmations la contrecarrant. Il me semble étrange d'opposer le raisonnement en arithmétique et le calcul car on ne peut faire l'un sans l'autre. Même en mathématiques, il faudrait prouver que Gauss et Ramanujan auraient pu faire leurs découvertes s'ils n'avaient pas été de grands calculateurs ."

* 15/02/ 2000: l'homme fait partie de la "réalité" et le besoin de mise en ordre des connaissances , besoin stictement humain, est donc aussi un moteur des mathématiques. Et le plaisir de faire des maths aussi......conditionné par le fait que l'on suive des "bonnes progresions".

16 ) Se pose ici le problème : que faire des SDE, des cognitivistes.....etc. Il serait temps qu'au lieu d'expérimenter dans des conditions particulières et souvent sujettes à caution, ils se posent un véritable problème - ou qu'ils considèrent que ce problème est le background fondamental de leur recherche- : quels sont les secrets des méthodes et contenus qui ont permis à des continents entiers d'apprendre à lire, écrire et à calculer ? Et , dans le cas où, comme plusieurs fois déjà, ils "prouvent scientifiquement" que ces méthodes n'ont pas pu réaliser ce qu'elles ont réellement réalisé.... méfiance.
Une question très sérieuse se pose cependant par rapport au travail qui a été fait dans les IREM par exemple : il y a une masse d'exercices , de présentation qui peuvent prendre une valeur énorme à condition d'être placé dans une progression cohérente au lieu d'être au mieux à leur place, dans les conditions actuelles , dans des parcours diversifiés ou autres activités marginales. Je ne pense pas du tout à certaines élucubrations que l'on a pu voir sur la présentation théorique de la proportionnalité.  Mais un manuel comme celui qui avait été fait par Ch. Delorme, A. Mezard et JP Penot ( Manuel de troisième SERMAP/HATIER de 1980) ferait maintenant un bon livre de ....seconde, première ou terminale? L'intéressant est que les auteurs se sont manifestement posé la question de ce qu'était une progression..

D'une manière générale tous les thèmes à la mode et mis en avant ( pédagogie de projet, méthode des complexes de matières, pédocentrisme....) reflètent une partie de la réalité,  mais sont des erreurs pédagogiques génératrices de dégâts considérables quand ils sont mis exclusivement en avant; mais , replacés dans un cadre cohérent, ils peuvent être extrêmement utiles. Un  seul exemple : on ne peut se centrer sur l'élève - et avec des résultats efficaces qui plus est - que si l'on centre l'enseignement sur le respect des progressions et des programmes. La position des didacticiens est en générale l'opposée exacte de celle-la:
1) Ils prétendent que l'enseignement ne doit pas être centré sur les programmes mais au contraire sur l'élève
2) Que c'est le fait de se centrer sur les besoins de l'élève qui permettrait de faire le programme et comme c'est le contraire qui est vrai, le pédocentrisme détruit l'utilité et le contenu des progressions

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